В трапеции ABCD (основания AD, BC) диагональ BD делит её на равнобедренные треугольники ABD (основание AD) и BCD (основание CD).

Пункт а. Докажем, что луч AC — биссектриса угла BAD.

«Равнобедренный с основанием AD» означает, что боковые стороны равны: AB=BD. «С основанием CD» даёт BC=BD. Значит, AB=BC=BD.

Так как BC\parallel AD, накрест лежащие углы равны: \angle BCA=\angle CAD. А треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), поэтому \angle BCA=\angle BAC.

Отсюда \angle BAC=\angle CAD, то есть AC делит угол BAD пополам — это биссектриса. Доказано.

Пункт б. Найдём CD, если AC=12, BD=6{,}5.

Так как AB=BC=BD=6{,}5, поставим координаты: A=(0;0), D=(L;0). Из AB=BD вершина B над серединой AD: B=\left(\dfrac{L}{2};h\right), и BC=6{,}5 с BC\parallel AD даёт C=\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5;h\right).

Условия: AB^2=\dfrac{L^2}{4}+h^2=6{,}5^2=42{,}25 и AC^2=\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5\right)^2+h^2=12^2=144.

Вычтем первое из второго: \left(\dfrac{L}{2}+6{,}5\right)^2-\dfrac{L^2}{4}=101{,}75, то есть 6{,}5L+42{,}25=101{,}75, откуда L=\dfrac{59{,}5}{6{,}5}\approx 9{,}154, а h^2=42{,}25-\dfrac{L^2}{4}.

Тогда CD=\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5-L\right)^2+h^2}; подставляя числа, получаем CD=\sqrt{25}=5.