ID: 00008924
На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены точки $E$ и $K$ соответственно. Известно, что $AE = 3$, $EK = 2$, $AK = \sqrt{13}$.
а) Докажите, что $CK = \dfrac{2}{3}BE$.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCK$.
Источник: ФИПИ
На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены точки $E$ и $K$; $AE=3$, $EK=2$, $AK=\sqrt{13}$.
Пункт а. Докажем, что $CK=\dfrac{2}{3}BE$.
Заметим, что $AE^2+EK^2=3^2+2^2=9+4=13=AK^2$, значит по обратной теореме Пифагора угол $\angle AEK=90^\circ$.
Тогда $\angle AEB+\angle KEC=90^\circ$ (так как $\angle AEK=90^\circ$ и $E$ на стороне $BC$), а также $\angle AEB+\angle BAE=90^\circ$ (из прямоугольного $ABE$). Значит $\angle KEC=\angle BAE$.
Прямоугольные треугольники $ABE$ и $ECK$ подобны (по равным острым углам). Отношение подобия $\dfrac{EC}{AB}=\dfrac{EK}{AE}=\dfrac{2}{3}$, поэтому $CK=\dfrac{2}{3}BE$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника $ABCK$.
Обозначим сторону $s$, $BE=x$, тогда $CK=\dfrac23 x$. Координаты: $A=(0;0)$, $B=(s;0)$, $C=(s;s)$, $D=(0;s)$; $E=(s;x)$, $K=(k;s)$.
Из условий $AE=3$: $s^2+x^2=9$; $AK=\sqrt{13}$: $k^2+s^2=13$; $EK=2$: $(s-k)^2+(x-s)^2=4$. Решая систему, получаем $s^2=8{,}1$ и нужные $x$, $k$.
Площадь четырёхугольника $ABCK$ (вершины $A,B,C,K$) по формуле площади трапеции $ABCK$ (где $AB\parallel$... считаем по координатам): $S_{ABCK}=\dfrac12|x_A(y_B-y_K)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_K-y_B)+x_K(y_A-y_C)|$.
Подставив найденные значения, получаем $S_{ABCK}=4{,}95$.
$4,95$