На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и K; AE=3, EK=2, AK=\sqrt{13}.

Пункт а. Докажем, что CK=\dfrac{2}{3}BE.

Заметим, что AE^2+EK^2=3^2+2^2=9+4=13=AK^2, значит по обратной теореме Пифагора угол \angle AEK=90^\circ.

Тогда \angle AEB+\angle KEC=90^\circ (так как \angle AEK=90^\circ и E на стороне BC), а также \angle AEB+\angle BAE=90^\circ (из прямоугольного ABE). Значит \angle KEC=\angle BAE.

Прямоугольные треугольники ABE и ECK подобны (по равным острым углам). Отношение подобия \dfrac{EC}{AB}=\dfrac{EK}{AE}=\dfrac{2}{3}, поэтому CK=\dfrac{2}{3}BE. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника ABCK.

Обозначим сторону s, BE=x, тогда CK=\dfrac23 x. Координаты: A=(0;0), B=(s;0), C=(s;s), D=(0;s); E=(s;x), K=(k;s).

Из условий AE=3: s^2+x^2=9; AK=\sqrt{13}: k^2+s^2=13; EK=2: (s-k)^2+(x-s)^2=4. Решая систему, получаем s^2=8{,}1 и нужные x, k.

Площадь четырёхугольника ABCK (вершины A,B,C,K) по формуле площади трапеции ABCK (где AB\parallel... считаем по координатам): S_{ABCK}=\dfrac12|x_A(y_B-y_K)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_K-y_B)+x_K(y_A-y_C)|.

Подставив найденные значения, получаем S_{ABCK}=4{,}95.