В прямоугольнике ABCD прямая через вершину B перпендикулярно диагонали AC пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от B и D.

Пункт а. Докажем, что \angle ABM=\angle DBC=30^\circ.

Координаты: A=(0;0), B=(a;0), C=(a;b), D=(0;b), где BC=b, AB=a.

Прямая через B=(a;0) перпендикулярна AC (направление AC=(a;b)), её направление (-b;a). Пересечение со стороной AD (прямая x=0): из a-tb=0 получаем t=\dfrac{a}{b}, тогда M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right).

Условие MB=MD: MB^2=a^2+\dfrac{a^4}{b^2}, MD^2=\left(b-\dfrac{a^2}{b}\right)^2. Приравняв и умножив на b^2: a^2b^2+a^4=(b^2-a^2)^2=b^4-2a^2b^2+a^4, откуда 3a^2b^2=b^4, то есть 3a^2=b^2.

Тогда \operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt3}, значит \angle DBC=30^\circ; по симметрии и \angle ABM=30^\circ. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC=9.

Из 3a^2=b^2 при b=9: a=\dfrac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3. Тогда M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right)=\left(0;\dfrac{27}{9}\right)=(0;3), C=(3\sqrt3;9).

Центр прямоугольника O=\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2};\dfrac{9}{2}\right).

Прямая CM через C=(3\sqrt3;9) и M=(0;3): угловой коэффициент \dfrac{9-3}{3\sqrt3-0}=\dfrac{6}{3\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}. Уравнение: y=3+\dfrac{2}{\sqrt3}x, или 2x-\sqrt3\,y+3\sqrt3=0.

Расстояние от O до прямой: \dfrac{|2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}-\sqrt3\cdot\frac92+3\sqrt3|}{\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}}=\dfrac{|3\sqrt3-4{,}5\sqrt3+3\sqrt3|}{\sqrt7}=\dfrac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7}.

Упростим: \dfrac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7}=\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt7}=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}.

🔴 Замечание (исправлено по ОК CEO). Прежний ответ банка \dfrac{9\sqrt{39}}{26} ошибочен; верное значение \dfrac{3\sqrt{21}}{14} — оно же стоит у задачи-двойника 00013610. Ответ обновлён.