ID: 00008921
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудаленной от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = 30^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC = 9$.
Источник: ФИПИ
В прямоугольнике $ABCD$ прямая через вершину $B$ перпендикулярно диагонали $AC$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от $B$ и $D$.
Пункт а. Докажем, что $\angle ABM=\angle DBC=30^\circ$.
Координаты: $A=(0;0)$, $B=(a;0)$, $C=(a;b)$, $D=(0;b)$, где $BC=b$, $AB=a$.
Прямая через $B=(a;0)$ перпендикулярна $AC$ (направление $AC=(a;b)$), её направление $(-b;a)$. Пересечение со стороной $AD$ (прямая $x=0$): из $a-tb=0$ получаем $t=\dfrac{a}{b}$, тогда $M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right)$.
Условие $MB=MD$: $MB^2=a^2+\dfrac{a^4}{b^2}$, $MD^2=\left(b-\dfrac{a^2}{b}\right)^2$. Приравняв и умножив на $b^2$: $a^2b^2+a^4=(b^2-a^2)^2=b^4-2a^2b^2+a^4$, откуда $3a^2b^2=b^4$, то есть $3a^2=b^2$.
Тогда $\operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит $\angle DBC=30^\circ$; по симметрии и $\angle ABM=30^\circ$. Доказано.
Пункт б. Найдём расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=9$.
Из $3a^2=b^2$ при $b=9$: $a=\dfrac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3$. Тогда $M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right)=\left(0;\dfrac{27}{9}\right)=(0;3)$, $C=(3\sqrt3;9)$.
Центр прямоугольника $O=\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2};\dfrac{9}{2}\right)$.
Прямая $CM$ через $C=(3\sqrt3;9)$ и $M=(0;3)$: угловой коэффициент $\dfrac{9-3}{3\sqrt3-0}=\dfrac{6}{3\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}$. Уравнение: $y=3+\dfrac{2}{\sqrt3}x$, или $2x-\sqrt3\,y+3\sqrt3=0$.
Расстояние от $O$ до прямой: $\dfrac{|2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}-\sqrt3\cdot\frac92+3\sqrt3|}{\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}}=\dfrac{|3\sqrt3-4{,}5\sqrt3+3\sqrt3|}{\sqrt7}=\dfrac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7}$.
Упростим: $\dfrac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7}=\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt7}=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$.
🔴 Замечание (исправлено по ОК CEO). Прежний ответ банка $\dfrac{9\sqrt{39}}{26}$ ошибочен; верное значение $\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$ — оно же стоит у задачи-двойника $00013610$. Ответ обновлён.