ID: 00008918
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.
Источник: ФИПИ
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в ортоцентре $H$. Через точку $C_1$ проведена прямая, параллельная высоте $BB_1$, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
Пункт а. Докажем, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$.
Прямая через $C_1$ параллельна $BB_1$, а $BB_1\perp AC$, поэтому эта прямая тоже перпендикулярна $AC$.
Точки $H$ и $K$ лежат на высоте $AA_1$, точки $C_1$ и $H$ — на высоте $CC_1$. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные этими высотами и сторонами.
Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников (по равным острым углам, равным углам исходного треугольника) получаем пропорцию $\dfrac{C_1H}{KH}=\dfrac{AB}{BC}$.
Перемножив крест-накрест: $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$. Доказано.
Пункт б. Найдём отношение площадей $C_1HK$ и $ABC$ при $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$.
Точки $H$, $K$ лежат на одной прямой (высоте $AA_1$), а точки $C_1$, $H$ — на другой (высоте $CC_1$). Поэтому угол $\angle C_1HK$ — это угол между высотами $CC_1$ и $AA_1$, он равен углу $B$ треугольника.
Найдём $\cos B$ по теореме косинусов: $\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{36+16-25}{2\cdot 6\cdot 4}=\dfrac{27}{48}=\dfrac{9}{16}$.
Расстояние от ортоцентра до основания высоты на $AB$: $C_1H=2R\cos A\cos B$, где $R$ — радиус описанной окружности. По п.а $KH=\dfrac{BC}{AB}\,C_1H=\dfrac{4}{6}\,C_1H=\dfrac{2}{3}C_1H$.
Площадь $S_{C_1HK}=\dfrac{1}{2}\,C_1H\cdot KH\cdot\sin B=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}C_1H^2\sin B=\dfrac{1}{3}C_1H^2\sin B$.
Подставив $C_1H=2R\cos A\cos B$ и площадь $S_{ABC}=2R^2\sin A\sin B\sin C$, после сокращений получаем $\dfrac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\cos^2A\cos^2B}{\sin A\sin C}$.
С числами ($\cos A=\tfrac34$, $\cos B=\tfrac{9}{16}$, $\cos C=\tfrac18$, $\sin A=\tfrac{\sqrt7}{4}$, $\sin C=\tfrac{3\sqrt7}{8}$) это равно $\dfrac{81}{448}$.
🔴 Замечание (исправлено по согласованию с CEO). Прежний ответ банка $81:256$ — это значение $\cos^2B$ (промежуточная величина, недосчёт). Верное отношение площадей $\mathbf{81:448}$ (проверено двумя независимыми способами). Ответ обновлён.