Задание 19 ЕГЭ по математике №00008726

Что дано: $50$ различных целых чисел, и сумма любых трёх из них больше суммы любых пяти. Чтобы это выполнялось для всех троек и пятёрок сразу, достаточно потребовать его для самых «опасных»: самой маленькой суммы трёх и самой большой суммы пяти.

Расставим числа по возрастанию: $a_1\lt a_2\lt \dots\lt a_{50}$. Самая маленькая сумма трёх — это $a_1+a_2+a_3$, самая большая сумма пяти — $a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}$. Всё условие сводится к одному неравенству:

$$a_1+a_2+a_3\gt a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}.$$

Пункт а). Может ли среди чисел быть $-300$? Да. Возьмём пятьдесят подряд идущих целых $-323,-322,\dots,-274$ (они различны, и $-300$ среди них). Тогда три наименьших дают $-323-322-321=-966$, а пять наибольших $-278-277-276-275-274=-1380$, и $-966\gt -1380$ — условие выполнено. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть число $300$? Тоже да, если остальные сделать очень отрицательными. Возьмём $-1000,-999,\dots,-952$ (сорок девять подряд) и добавим $300$. Три наименьших: $-1000-999-998=-2997$. Пять наибольших — это $300$ и четыре числа $-955,-954,-953,-952$, их сумма $300-3814=-3514$. Так как $-2997\gt -3514$, условие выполнено. Значит — да.

Пункт в). Найдём наибольшую возможную сумму всех $50$ чисел. Хочется, чтобы числа были как можно «выше», но мешает неравенство выше. Обозначим сумму пяти наибольших через $B=a_{46}+\dots+a_{50}$.

Сорок пять остальных чисел меньше $a_{46}$; чтобы их сумма была побольше, возьмём их вплотную: $a_{46}-1,a_{46}-2,\dots,a_{46}-45$. Тогда три наименьших из всего набора — это $a_{46}-45,a_{46}-44,a_{46}-43$ с суммой $3a_{46}-132$. Неравенство $3a_{46}-132\gt B$ для целых даёт $B\leqslant 3a_{46}-133$.

Сумма всех чисел: $B+\big((a_{46}-1)+\dots+(a_{46}-45)\big)=B+45a_{46}-1035$. Подставим максимальное $B=3a_{46}-133$ и получим $48a_{46}-1168$ — оно тем больше, чем больше $a_{46}$.

Но пять наибольших — различные числа, не меньшие $a_{46}$, поэтому их сумма $B\geqslant a_{46}+(a_{46}+1)+\dots+(a_{46}+4)=5a_{46}+10$. Совмещая с $B\leqslant 3a_{46}-133$, получаем $5a_{46}+10\leqslant 3a_{46}-133$, откуда $a_{46}\leqslant -71{,}5$, то есть $a_{46}\leqslant -72$. Значит максимум суммы при $a_{46}=-72$: $48\cdot(-72)-1168=-4624$.

Этот максимум достигается. Возьмём $45$ чисел $-117,-116,\dots,-73$ и пять чисел $-72,-71,-70,-69,-67$ (заметьте: пять наибольших не подряд — мы пропустили $-68$, чтобы поднять их сумму при том же $a_{46}$). Сумма трёх наименьших $-117-116-115=-348$ больше суммы пяти наибольших $-72-71-70-69-67=-349$. Наибольшая сумма всех чисел — $-4624$.