Что дано: 50 различных целых чисел, и сумма любых трёх из них больше суммы любых пяти. Чтобы это выполнялось для всех троек и пятёрок сразу, достаточно потребовать его для самых «опасных»: самой маленькой суммы трёх и самой большой суммы пяти.

Расставим числа по возрастанию: a_1\lt a_2\lt \dots\lt a_{50}. Самая маленькая сумма трёх — это a_1+a_2+a_3, самая большая сумма пяти — a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}. Всё условие сводится к одному неравенству:

a_1+a_2+a_3\gt a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}.

Пункт а). Может ли среди чисел быть -300? Да. Возьмём пятьдесят подряд идущих целых -323,-322,\dots,-274 (они различны, и -300 среди них). Тогда три наименьших дают -323-322-321=-966, а пять наибольших -278-277-276-275-274=-1380, и -966\gt -1380 — условие выполнено. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть число 300? Тоже да, если остальные сделать очень отрицательными. Возьмём -1000,-999,\dots,-952 (сорок девять подряд) и добавим 300. Три наименьших: -1000-999-998=-2997. Пять наибольших — это 300 и четыре числа -955,-954,-953,-952, их сумма 300-3814=-3514. Так как -2997\gt -3514, условие выполнено. Значит — да.

Пункт в). Найдём наибольшую возможную сумму всех 50 чисел. Хочется, чтобы числа были как можно «выше», но мешает неравенство выше. Обозначим сумму пяти наибольших через B=a_{46}+\dots+a_{50}.

Сорок пять остальных чисел меньше a_{46}; чтобы их сумма была побольше, возьмём их вплотную: a_{46}-1,a_{46}-2,\dots,a_{46}-45. Тогда три наименьших из всего набора — это a_{46}-45,a_{46}-44,a_{46}-43 с суммой 3a_{46}-132. Неравенство 3a_{46}-132\gt B для целых даёт B\leqslant 3a_{46}-133.

Сумма всех чисел: B+\big((a_{46}-1)+\dots+(a_{46}-45)\big)=B+45a_{46}-1035. Подставим максимальное B=3a_{46}-133 и получим 48a_{46}-1168 — оно тем больше, чем больше a_{46}.

Но пять наибольших — различные числа, не меньшие a_{46}, поэтому их сумма B\geqslant a_{46}+(a_{46}+1)+\dots+(a_{46}+4)=5a_{46}+10. Совмещая с B\leqslant 3a_{46}-133, получаем 5a_{46}+10\leqslant 3a_{46}-133, откуда a_{46}\leqslant -71{,}5, то есть a_{46}\leqslant -72. Значит максимум суммы при a_{46}=-72: 48\cdot(-72)-1168=-4624.

Этот максимум достигается. Возьмём 45 чисел -117,-116,\dots,-73 и пять чисел -72,-71,-70,-69,-67 (заметьте: пять наибольших не подряд — мы пропустили -68, чтобы поднять их сумму при том же a_{46}). Сумма трёх наименьших -117-116-115=-348 больше суммы пяти наибольших -72-71-70-69-67=-349. Наибольшая сумма всех чисел — -4624.