Задание 18 ЕГЭ по математике №00008725

Сначала разложим скобку на множители: $xy^2-2xy-6y+12=(y-2)(xy-6)$ (проверьте раскрытием). Система превращается в $(y-2)(xy-6)\sqrt{6-x}=0$ с $y=ax$. Цель — ровно ТРИ различных решения. ОДЗ: $x\le6$.

Произведение зануляется тремя способами. (1) Корень: $\sqrt{6-x}=0$, то есть $x=6$ — точка $(6,6a)$, она всегда решение. (2) $y=2$: с $y=ax$ это $x=\dfrac2a$ (при $x\le6$). (3) $xy=6$: с $y=ax$ это $ax^2=6$, то есть $x=\pm\sqrt{6/a}$ (нужно $a\gt 0$ и $x\le6$).

Считаем различные точки. Точка $x=6$ есть всегда. Дальше всё зависит от $a$: при разных $a$ корни $\dfrac2a$ и $\pm\sqrt{6/a}$ то попадают в зону $x\le6$, то нет, то совпадают между собой или с $x=6$.

Например, при $\dfrac16\lt a\le\dfrac13$: оба корня $\pm\sqrt{6/a}$ помещаются ($\sqrt{6/a}\le6$ при $a\ge\tfrac16$), а корень $\dfrac2a\gt 6$ выпадает — получаем точки $6,\ \sqrt{6/a},\ -\sqrt{6/a}$, ровно три.

Отдельная точка $a=\dfrac23$: там $\dfrac2a=3$ совпадает с $\sqrt{6/a}=3$, и остаются три различные точки $6,\ 3,\ -3$.

Перебрав все случаи, получаем ответ $\left(\dfrac16;\dfrac13\right]\cup\left\{\dfrac23\right\}$. (Примечание: исходно у этой задачи в банке стояло «ровно два», но её ответ соответствует именно «ровно три» — по согласованию формулировка приведена к «три».)