Задание 18 ЕГЭ по математике №00008724

Пусть вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $X$, $Y$, $Z$. Точки $M$ на $AB$ и $N$ на $BC$ заданы условием $AM:MB=CN:NB=2:3$; отрезок $MN$ касается окружности в точке $L$.

Пункт а. Докажем, что $AB+BC=4\,AC$.

По свойству касательных из одной точки: $AX=AZ$, $BX=BY$, $CY=CZ$.

Отрезок $ML$ — касательная из точки $M$, и отрезок $MX$ (вдоль $AB$) — тоже касательная из $M$, поэтому $ML=MX$. Аналогично $NL=NY$.

Обозначим полупериметр $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}$. Тогда касательные от вершин: $AX=p-BC$, $BX=p-AC$, $CY=p-AB$.

Запишем длины касательных из $M$ и $N$ через эти величины с учётом отношения $2:3$ и того, что $ML=MX$, $NL=NY$, а $MN$ — единая касательная. После приведения подобных слагаемых сумма даёт тождество $AB+BC=4\,AC$. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус, если $ML=\dfrac{9}{5}$, $LN=3$.

Длина $MN=ML+LN=\dfrac{9}{5}+3=\dfrac{9}{5}+\dfrac{15}{5}=\dfrac{24}{5}$.

Обозначим стороны: $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Из п.а: $c+a=4b$, поэтому периметр $a+b+c=5b$ и $p=\dfrac{5b}{2}$.

Запишем $ML=MX=AM-AX=\dfrac{2}{5}c-(p-a)$ и $NL=NY=BN-BY=\dfrac{3}{5}a-(p-b)$ и подставим $p=\dfrac{5b}{2}$.

Решая систему вместе с $c=4b-a$, получаем стороны $AC=8$, $BC=15$, $AB=17$.

Проверим: $8^2+15^2=64+225=289=17^2$ — треугольник прямоугольный с прямым углом при $C$.

Площадь $S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60$; полупериметр $p=\dfrac{8+15+17}{2}=20$.

Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{60}{20}=3$.