ID: 00008723
В июле $2025$ года планируется взять кредит в банке на сумму $300$ тысяч рублей на $6$ лет. Условия его возврата таковы:
— в январе $2026$, $2027$ и $2028$ годов долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе $2029$, $2030$ и $2031$ годов долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю $2031$ года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $498$ тысяч рублей. Найдите $r$.
Источник: ФИПИ
Долг уменьшается равными ступенями до нуля, но процентная ставка в первые годы одна, а в оставшиеся — другая (искомая). Поэтому платежи считаем двумя блоками.
Кредит $S=300$ тыс. руб. на 6 лет — значит каждая ступень погашения равна $d=\tfrac{300}{6}=50$ тыс. руб., и долг на июль идёт 300, 250, … , 0.
В первые 3 лет ставка 20 %. Платёж года — это «процент на прошлый долг плюс ступень $d$». Сумма этих 3 платежей равна 300 тыс. руб.
В оставшиеся 3 лет ставка равна искомым $r\,\%$. Их суммарный платёж — это 3 ступеней (вместе 150) плюс $x$, умноженный на сумму соответствующих долгов прошлого года (300).
Складываем оба блока и приравниваем к заданной общей сумме выплат 498 тыс. руб.:
$$300+150+x\cdot300=498.$$
Отсюда $x=0{,}16$, то есть $r=16$. Проверка: с этой ставкой суммарные выплаты действительно дают 498 тыс. руб. Типичная ошибка — применить новую ставку не к тем годам.
16