Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00008719

Исследуем функцию через производную.

$$y' = 3x^2 + 36x + 81 = 3(x^2 + 12x + 27) = 3(x + 3)(x + 9).$$

Нули производной: $x = -9$ и $x = -3$; в отрезок $[-7;\ 0]$ попадает только $x = -3$.

Знаки на отрезке: при $-7 \lt x \lt -3$ множители дают $(x+3) \lt 0$, $(x+9) \gt 0$ — производная отрицательна, функция убывает.

При $-3 \lt x \le 0$ оба множителя положительны — функция растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x = -3$ — это точка минимума на отрезке.

$$x_{\min} = -3.$$

Значение функции в этой точке: $y(-3) = -27 + 162 - 243 + 56 = -52$ — это наименьшее значение функции на отрезке.