Исследуем функцию через производную.

y' = 3x^2 + 36x + 81 = 3(x^2 + 12x + 27) = 3(x + 3)(x + 9).

Нули производной: x = -9 и x = -3; в отрезок [-7;\ 0] попадает только x = -3.

Знаки на отрезке: при -7 \lt x \lt -3 множители дают (x+3) \lt 0, (x+9) \gt 0 — производная отрицательна, функция убывает.

При -3 \lt x \le 0 оба множителя положительны — функция растёт.

Убывание сменяется ростом в точке x = -3 — это точка минимума на отрезке.

x_{\min} = -3.

Значение функции в этой точке: y(-3) = -27 + 162 - 243 + 56 = -52 — это наименьшее значение функции на отрезке.