ID: 00008693
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 15.
Источник: ФИПИ
Пусть биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD, прилежащих к стороне AB, пересекаются в точке K на стороне CD.
Биссектриса угла A отсекает равнобедренный треугольник: из-за накрест лежащих углов при параллельных AB и CD получаем DK = AD.
Точно так же для биссектрисы угла B: KC = BC.
Но в параллелограмме BC = AD, поэтому CD = DK + KC = 2AD.
Противоположные стороны равны: AB = CD = 2AD, значит, периметр:
P = 2(AB + AD) = 2(2AD + AD) = 6AD = 15, \quad AD = 2{,}5.
Меньшая сторона — AD = 2{,}5 (она вдвое короче AB).