ID: 00005468
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Источник: ФИПИ
Кредит на пять лет с необычным графиком: первые три года заёмщик платит только проценты (долг не уменьшается), а в последние два года вносит два равных платежа, гасящих долг.
Долг держится равным исходным 1 050 тыс. руб. в 2027, 2028 и 2029 годах, поэтому в каждый из этих лет платится только процент: $0{,}1\cdot S$ (всего три раза).
В 2030 и 2031 годах вносят равные платежи $P$. Долг растёт на 10 % ($q=1{,}1$), и после второго платежа обнуляется:
$$\bigl(Sq-P\bigr)q-P=0\ \Rightarrow\ P=\dfrac{S q^2}{q+1}.$$
Первая выплата (2027 год) — это только проценты, $105$ тыс. руб. Последняя выплата (2031 год) равна $P=605$ тыс. руб. Их разность: $605-105=500$ тыс. руб.
Последняя выплата больше первой на 500 тыс. рублей (то есть на 500 000 руб.).
Типичная ошибка — посчитать, что долг в первые годы тоже уменьшается; здесь первые три года уходят только на проценты, и тело долга не меняется.
500 тыс. рублей