ID: 00005455
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит 311 040 рублей?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 20 %, то есть умножается на $q=1{,}2$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 4, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{4}=X\left(q^{3}+q^{2}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q-1}.$$
Так как все платежи равны, а их сумма равна 311 040 рублей, один платёж $X=311 040:4=77 760$ рублей.
Отсюда $S=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)\,q^{4}}$. Подставляя $q=1{,}2$ и считая по действиям, получаем, что планируется взять 201 300 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 4 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.