Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00005454

В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.

Каждый январь долг увеличивается на 20 %, то есть умножается на $q=1{,}2$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 3, после последнего долг равен нулю.

Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:

$$S\cdot q^{3}=X\left(q^{2}+q^{1}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{q-1}.$$

По условию переплата (то, что выплачено сверх взятого) равна 48 250 рублей, то есть $3X-S=48 250$. Подставив сюда выражение для $S$ через $X$, получаем одно уравнение с одним неизвестным.

$$3X-X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{(q-1)\,q^{3}}=48 250.$$

Решив его, находим платёж $X=54 000$ рублей, после чего банку будет выплачено 162 000 рублей.

Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 3 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.