ID: 00005451
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?
Источник: ФИПИ
Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.
Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через M. Тогда первые пять лет долг убывает по \tfrac{S-M}{5}, а вторые пять лет — по \tfrac{M}{5} за год.
Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит S, а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:
\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}1.
Сначала найдём середину: при S=1 400, ставке 10 % и сумме выплат 2 120 получаем M=600 тыс. руб., поэтому первая ступень d_1=\tfrac{S-M}{5}=160.
Платёж 2026 года (самый первый) — это проценты на исходный долг плюс первая ступень: x\cdot S+d_1=0{,}1\cdot1 400+160=300 тыс. руб.
Платёж в 2026 году составит 300 тыс. рублей.
Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.
300