Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00005450

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00005450

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580

тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

Источник: ФИПИ

Решение

Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.

Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через $M$. Тогда первые пять лет долг убывает по $\tfrac{S-M}{5}$, а вторые пять лет — по $\tfrac{M}{5}$ за год.

Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит $S$, а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:

$$\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}2.$$

Здесь $S=1 300$, ставка 20 %, сумма выплат 2 580 (тыс. руб.). Из формулы выражаем $M$ и получаем $M=500$ тыс. руб.

Долг в июле 2030 года составит 500 тыс. рублей (то есть 500 000 руб.).

Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.

Ответ

500000
Другие задания по теме «Кредиты» (8)