ID: 00005448
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа $n$-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу $(n + 1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
⚠️ В условии этой задачи потеряна переменная — число месяцев $n$. Ниже восстановлен корректный смысл (по двойнику и числам).
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 40: $1 000,\ 960,\ \dots$ — всего 20 ступеней, после чего 21-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 40 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 378 тыс. руб.:
$$\underbrace{40\cdot20}_{\text{ступени}=800}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 378.$$
Отсюда $x=0{,}03$, то есть $r=3$. Искомая ставка равна 3 %.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.