ID: 00005448
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на r\,\%, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
⚠️ В условии этой задачи потеряна переменная — число месяцев n. Ниже восстановлен корректный смысл (по двойнику и числам).
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 40: 1 000,\ 960,\ \dots — всего 20 ступеней, после чего 21-м платежом гасится остаток 200 тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 40 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку 200, выросшему на r\,\%. Сумма всех платежей равна 1 378 тыс. руб.:
\underbrace{40\cdot20}_{\text{ступени}=800}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 378.
Отсюда x=0{,}03, то есть r=3. Искомая ставка равна 3 %.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.