ID: 00005445
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3$.
Источник: ФИПИ
Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.
Находим производную почленно:
$$y' = 3x^2 - 28x + 49.$$
Критические точки — нули производной. Решаем квадратное уравнение:
$$D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 = 14^2,$$
$$x = \dfrac{28 \pm 14}{6}, \qquad x_1 = \dfrac{7}{3}, \quad x_2 = 7.$$
Производная — парабола ветвями вверх: она положительна до меньшего корня, отрицательна между корнями и положительна после большего.
Значит, до $\dfrac{7}{3}$ функция растёт, между $\dfrac{7}{3}$ и $7$ — убывает, после $7$ — растёт.
В точке $x = 7$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.
$$x_{\min} = 7.$$