ID: 00005443
Найдите точку максимума функции $y = (x + 3)e^{3 - x}$.
Источник: ФИПИ
Функция — произведение, поэтому используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Учитываем, что производная $e^{3-x}$ равна $-e^{3-x}$ (внутренняя функция даёт множитель $-1$):
$$y' = 1 \cdot e^{3-x} + (x+3) \cdot (-e^{3-x}) = e^{3-x}(1 - x - 3) = -e^{3-x}(x + 2).$$
Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной определяется множителем $-(x+2)$.
Нуль производной: $x = -2$.
При $x \lt -2$ производная положительна (функция растёт), при $x \gt -2$ — отрицательна (убывает).
Рост сменяется убыванием — это точка максимума.
$$x_{\max} = -2.$$