Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00005440

Область определения: логарифм требует $x - 2 \gt 0$, то есть $x \gt 2$.

Производная (производная $\ln(x-2)$ равна $\dfrac{1}{x-2}$):

$$y' = \dfrac{10}{x - 2} - 10.$$

Нуль производной:

$$\dfrac{10}{x-2} = 10 \quad\Rightarrow\quad x - 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 3.$$

Знаки на области определения: при $2 \lt x \lt 3$ дробь больше $10$ — производная положительна, функция растёт; при $x \gt 3$ дробь меньше $10$ — производная отрицательна, функция убывает.

Рост сменяется убыванием — это точка максимума.

$$x_{\max} = 3.$$