ID: 00005438
Найдите наибольшее значение функции $y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 21]$.
Источник: ФИПИ
Перепишем функцию в степенном виде: $y = 11 + 6x - 4x^{3/2}$ (корень определён при $x \ge 0$).
Производная почленно:
$$y' = 6 - 4 \cdot \dfrac{3}{2}x^{1/2} = 6 - 6\sqrt{x}.$$
Нуль производной:
$$6 - 6\sqrt{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1.$$
Знаки: при $0 \le x \lt 1$ производная положительна (функция растёт), при $x \gt 1$ — отрицательна (убывает).
Рост сменяется убыванием — в точке $x = 1$ максимум, и именно там наибольшее значение на отрезке $[0;\ 21]$:
$$y(1) = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 11 + 6 - 4 = 13.$$