Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.

Находим производную степенной функции почленно:

y' = 3x^2 - 108.

Критические точки — нули производной:

3x^2 = 108 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x = -6 \ \text{или}\ x = 6.

Определяем знаки производной: y' = 3(x-6)(x+6) — парабола ветвями вверх, отрицательная между корнями.

До x = -6 функция растёт, между -6 и 6 — убывает, после 6 — снова растёт.

Убывание сменяется ростом в точке x = 6 — это и есть точка минимума.

x_{\min} = 6.