Дана прямая призма ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 . ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB . На AB отмечена точка P такая, что AP: PB равно 3: 1 . Точка Q делит пополам ребро B индекс 1 C индекс 1 . Точка M делит пополам ребро BC . Через точку M проведена плоскость альфа , перпендикулярная PQ . а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости альфа . б) Найдите отношение, в котором плоскость альфа делит PQ , если AA индекс 1 равно 5, AB равно 12, косинус угол ABC равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .

Задание 14 ЕГЭ по математике: Дана прямая призма ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 . ABC —…

№2. Задание 14

ID: 00005379

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$ . $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ . На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP : PB = 3 : 1$ . Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$ . Точка $M$ делит пополам ребро $BC$ . Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$ , перпендикулярная $PQ$ .

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит $PQ$ , если $AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты: $H$ — середина $AB$ , ось $x$ вдоль $AB$ , $y$ — высота $CH$ . Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $CH\perp AB$ .

Вектор $\vec{PQ}$ — нормаль к плоскости $\alpha$ . Скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0$ (проверяется по координатам), значит $AB\perp\vec{PQ}$ , то есть $AB\parallel\alpha$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Из $\cos\angle ABC=\tfrac35$ находим $CH=8$ ( $BC=10$ ). Координаты $P,Q,M$ дают плоскость $\alpha$ .

Точка пересечения $\alpha$ с $PQ$ делит его как $PX:XQ=16:25$ .

Ответ: $16:25$ .

Ответ

б) $16 : 25$