Global EE

Задание 15 ЕГЭ по математике №00005379

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00005379

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP : PB = 3 : 1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит $PQ$, если $AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты: $H$ — середина $AB$, ось $x$ вдоль $AB$, $y$ — высота $CH$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $CH\perp AB$.

Вектор $\vec{PQ}$ — нормаль к плоскости $\alpha$. Скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0$ (проверяется по координатам), значит $AB\perp\vec{PQ}$, то есть $AB\parallel\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Из $\cos\angle ABC=\tfrac35$ находим $CH=8$ ($BC=10$). Координаты $P,Q,M$ дают плоскость $\alpha$.

Точка пересечения $\alpha$ с $PQ$ делит его как $PX:XQ=16:25$.

Ответ

б) $16 : 25$

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)