Плоскость альфа перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K . Сечение пирамиды плоскостью альфа является правильным треугольником площадью 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . а) Докажите, что плоскость альфа перпендикулярна прямой AC . б) В каком отношении точка K делит ребро SA , считая от точки S , если объём пирамиды равен 36 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .

Задание 14 ЕГЭ по математике: Плоскость альфа перпендикулярна плоскости основания ABCD…

№2. Задание 14

ID: 00005378

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$ . Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $2\sqrt{3}$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$ .

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$ , считая от точки $S$ , если объём пирамиды равен $36\sqrt{6}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Плоскость $\alpha\perp$ основанию и пересекает $SA$ в $K$ . Сечение — равносторонний треугольник.

Так как сечение правильное и плоскость вертикальна, её основание в плоскости $ABC$ перпендикулярно диагонали $AC$ (иначе сечение не было бы равносторонним) — значит $\alpha\perp AC$ . Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Из площади правильного треугольника находим его сторону, из объёма пирамиды — её размеры; сопоставление даёт положение $K$ .

Получаем $SK:SA=1:2$ (точка $K$ — середина $SA$ ).

Ответ: $1:2$ .

Ответ

б) $1 : 2$