Плоскость альфа перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью альфа является правильным треугольником площадью 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента. а) Докажите, что плоскость альфа перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 36 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента.

Задание 15 ЕГЭ по математике №00005378

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00005378

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $$ABCD$$ правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ и пересекает ребро $$SA$$ в точке $$K$$ . Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $2\sqrt{3}$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $$AC$$ .

б) В каком отношении точка $$K$$ делит ребро $$SA$$ , считая от точки $$S$$ , если объём пирамиды равен $36\sqrt{6}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Плоскость $\alpha\perp$ основанию и пересекает $$SA$$ в $$K$$ . Сечение — равносторонний треугольник.

Так как сечение правильное и плоскость вертикальна, её основание в плоскости $$ABC$$ перпендикулярно диагонали $$AC$$ (иначе сечение не было бы равносторонним) — значит $\alpha\perp AC$ . Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Из площади правильного треугольника находим его сторону, из объёма пирамиды — её размеры; сопоставление даёт положение $$K$$ .

Получаем $$SK:SA=1:2$$ (точка $$K$$ — середина $$SA$$ ).

Ответ

б) $$1 : 2$$

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)