ID: 00005378
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $2\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $36\sqrt{6}$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость $\alpha\perp$ основанию и пересекает $SA$ в $K$. Сечение — равносторонний треугольник.
Так как сечение правильное и плоскость вертикальна, её основание в плоскости $ABC$ перпендикулярно диагонали $AC$ (иначе сечение не было бы равносторонним) — значит $\alpha\perp AC$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Из площади правильного треугольника находим его сторону, из объёма пирамиды — её размеры; сопоставление даёт положение $K$.
Получаем $SK:SA=1:2$ (точка $K$ — середина $SA$).
б) $1 : 2$