ID: 00005376
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 отметили точки M и K на рёбрах AA_1 и A_1B_1 соответственно. Известно, что A_1M = 2 \cdot MA, A_1K = KB_1. Через точки M и K провели плоскость \alpha перпендикулярно грани ABB_1A_1.
а) Докажите, что плоскость \alpha проходит через вершину C_1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью \alpha, если все рёбра призмы равны 20.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость \alpha перпендикулярна грани ABB_1A_1 и проходит через M\in AA_1 и K — середину A_1B_1.
Опустим из C_1 перпендикуляр на грань ABB_1A_1 — его основание лежит на средней линии (так как \triangle A_1B_1C_1 правильный, проекция C_1 — середина A_1B_1, то есть точка K). Значит прямая C_1K\perp ABB_1A_1, поэтому C_1 лежит в плоскости \alpha, проходящей через K перпендикулярно этой грани. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: A=(0;0;0), B=(20;0;0), C=(10;17.32;0) и соответствующие A_1,B_1,C_1 выше на 20.
Точка M на AA_1 (AM=\tfrac{1}{3} ребра при A_1M=2AM), K — середина A_1B_1, C_1 — вершина. Сечение \alpha — треугольник MKC_1 (точнее, проходящий через эти точки).
Площадь сечения равна \dfrac{250\sqrt3}{3}.
Ответ: \dfrac{250\sqrt3}{3}.
\dfrac{250\sqrt3}{3}