ID: 00005367
В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD = 12$, $BC = 10$, $SO = 9$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В основании пирамиды трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$), $O=AC\cap BD$, $M,N$ — середины $AB,CD$, $\alpha\parallel SO$ через $MN$.
$MN$ — средняя линия трапеции (параллельна основаниям), а $\alpha\parallel SO$; сечение пересекает боковые грани по отрезкам, параллельным $SO$, поэтому это трапеция. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При $AD=12,BC=10,SO=9$ ($SO\perp AD$) площадь сечения равна $49{,}5$.
б) $49.5$