Задание 15 ЕГЭ по математике №00005367

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00005367

В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ . Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$ . Точки $$M$$ и $$N$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $$M$$ и $$N$$ параллельно прямой $$SO$$ .

а) Докажите, что сечение пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $\alpha$ , если $$AD = 12$$ , $$BC = 10$$ , $$SO = 9$$ , а прямая $$SO$$ перпендикулярна прямой $$AD$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В основании пирамиды трапеция $$ABCD$$ ( $AD\parallel BC$ ), $O=AC\cap BD$ , $$M,N$$ — середины $$AB,CD$$ , $\alpha\parallel SO$ через $$MN$$ .

$$MN$$ — средняя линия трапеции (параллельна основаниям), а $\alpha\parallel SO$ ; сечение пересекает боковые грани по отрезкам, параллельным $$SO$$ , поэтому это трапеция. Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

При $$AD=12,BC=10,SO=9$$ ( $SO\perp AD$ ) площадь сечения равна $$49{,}5$$ .

Ответ

б) $$49.5$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)