ID: 00005358
Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN : NB = 1 : 2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны $12$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$M$ — середина $SA$, $N$ на $SB$. Прямая пересечения плоскости $(CMN)$ с гранью $SAD$ параллельна $SD$, так как $MN$ и $CD$... ; точнее: плоскость $CMN$ содержит направление, параллельное $SD$ (проверяется по координатам), значит $(CMN)\parallel SD$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Все рёбра $=12$. По координатам строим сечение (четырёхугольник) и считаем его площадь: $15\sqrt{19}$.
б) $S = 15\sqrt{19}$.