ID: 00005354
На рёбрах AC, AD, BD, BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M, N соответственно, причём AK : KC = 2 : 3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB, CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В треугольниках с вершиной A: KL\parallel CD (так как K\in AC, L\in AD и AK:KC=AL:LD), а KN\parallel AB (K\in AC, N\in BC). Аналогично MN\parallel CD и LM\parallel AB.
Значит у четырёхугольника KLMN стороны KL\parallel MN\parallel CD и KN\parallel LM\parallel AB. Раз KLMN — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, поэтому AB\perp CD. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Так как AB\perp CD, объём тетраэдра V=\tfrac16\,AB\cdot CD\cdot d, где d — расстояние между прямыми AB и CD.
Из AK:KC=2:3 и того, что KLMN — квадрат со стороной 2: KL=\tfrac{2}{5}CD=2\Rightarrow CD=5, LM=\tfrac{3}{5}AB=2\Rightarrow AB=\tfrac{10}{3}.
Тогда 25=\tfrac16\cdot\tfrac{10}{3}\cdot5\cdot d\Rightarrow d=9. Плоскость квадрата KLMN параллельна и AB, и CD, то есть параллельна общему перпендикуляру их... — она пересекает его и делит расстояние d в отношении AL:LD=2:3 от стороны AB.
Точка B лежит в «уровне» прямой AB; расстояние от B до плоскости KLMN равно той части d, что отсекается уровнем L: d\cdot\dfrac{AL}{AD}=9\cdot\dfrac{2}{5}=3{,}6.
Ответ: 3{,}6.
б) 3.6