Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00005354

Пункт а (доказательство).

В треугольниках с вершиной $A$: $KL\parallel CD$ (так как $K\in AC$, $L\in AD$ и $AK:KC=AL:LD$), а $KN\parallel AB$ ($K\in AC$, $N\in BC$). Аналогично $MN\parallel CD$ и $LM\parallel AB$.

Значит у четырёхугольника $KLMN$ стороны $KL\parallel MN\parallel CD$ и $KN\parallel LM\parallel AB$. Раз $KLMN$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, поэтому $AB\perp CD$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Так как $AB\perp CD$, объём тетраэдра $V=\tfrac16\,AB\cdot CD\cdot d$, где $d$ — расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Из $AK:KC=2:3$ и того, что $KLMN$ — квадрат со стороной $2$: $KL=\tfrac{2}{5}CD=2\Rightarrow CD=5$, $LM=\tfrac{3}{5}AB=2\Rightarrow AB=\tfrac{10}{3}$.

Тогда $25=\tfrac16\cdot\tfrac{10}{3}\cdot5\cdot d\Rightarrow d=9$. Плоскость квадрата $KLMN$ параллельна и $AB$, и $CD$, то есть параллельна общему перпендикуляру их... — она пересекает его и делит расстояние $d$ в отношении $AL:LD=2:3$ от стороны $AB$.

Точка $B$ лежит в «уровне» прямой $AB$; расстояние от $B$ до плоскости $KLMN$ равно той части $d$, что отсекается уровнем $L$: $d\cdot\dfrac{AL}{AD}=9\cdot\dfrac{2}{5}=3{,}6$.