Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00005353

Задание №15. Стереометрическая задача

Расстояние между точками, от точки до прямой

№2. Задание 15

ID: 00005353

В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ с основанием $$ABC$$ точки $$M$$ , $$K$$ — середины рёбер $$AB$$ , $$SC$$ соответственно. На продолжении ребра $$SB$$ за точку $$S$$ отмечена точка $$R$$ . Прямые $$RM$$ , $$RK$$ пересекают рёбра $$AS$$ , $$BC$$ в точках $$N$$ , $$L$$ соответственно, причём $2 \cdot BL = 3 \cdot LC$ .

а) Докажите, что прямые $$MK$$ , $$NL$$ пересекаются.

б) Найдите отношение $$AN : NS$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты правильной пирамиды $$SABC$$ . $$M,K$$ — середины $$AB,SC$$ ; $$R$$ на продолжении $$SB$$ за $$S$$ .

Прямые $$MK$$ и $$NL$$ лежат в одной плоскости (через $$R$$ ), поэтому пересекаются; точка их пересечения вместе с $$S$$ задаёт нужную конфигурацию. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Из условия $$BL:LC=3:2$$ и коллинеарности $$R,K,L$$ находим $$R$$ , затем $N=RM\cap AS$ .

Получаем $$AN:NS=3:2$$ .

Ответ

б) $$3 : 2$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Расстояние между точками, от точки до прямой» (8)