ID: 00005353
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$, $K$ — середины рёбер $AB$, $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$, $RK$ пересекают рёбра $AS$, $BC$ в точках $N$, $L$ соответственно, причём $2 \cdot BL = 3 \cdot LC$.
а) Докажите, что прямые $MK$, $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN : NS$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды $SABC$. $M,K$ — середины $AB,SC$; $R$ на продолжении $SB$ за $S$.
Прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости (через $R$), поэтому пересекаются; точка их пересечения вместе с $S$ задаёт нужную конфигурацию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из условия $BL:LC=3:2$ и коллинеарности $R,K,L$ находим $R$, затем $N=RM\cap AS$.
Получаем $AN:NS=3:2$.
б) $3 : 2$