Global EE

Задание 15 ЕГЭ по математике №00005321

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00005321

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB = AA_1, AB : BC = 2 : 5$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты ($AB=AA_1=2$, $BC=AC=5$, основание — равнобедренный треугольник с основанием $AB$).

Плоскость $\alpha$ с нормалью $\vec{PQ}$ проходит через середину $M$ ребра $BC$. Подстановка показывает, что середина $AC$ лежит в $\alpha$, то есть $\alpha$ делит $AC$ пополам. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Вычисляем точку пересечения $\alpha$ с ребром $A_1C_1$: она делит его как $A_1X:XC_1=1:5$ (считая от $A_1$).

Ответ

$1:5$

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)