В основании прямой призмы ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB . Точка P делит ребро AB в отношении AP: PB равно 1: 3 , а точка Q — середина ребра A индекс 1 C индекс 1 . Через середину M ребра BC провели плоскость альфа , перпендикулярную отрезку PQ . а) Докажите, что плоскость альфа делит ребро AC пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость альфа делит ребро A индекс 1 C индекс 1 , считая от точки A индекс 1 , если известно, что AB равно AA индекс 1 , AB: BC равно 2: 5 .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В основании прямой призмы ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1…

№2. Задание 14

ID: 00005321

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ . Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$ , а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$ . Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$ , перпендикулярную отрезку $PQ$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$ , считая от точки $A_1$ , если известно, что $AB = AA_1, AB : BC = 2 : 5$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты ( $AB=AA_1=2$ , $BC=AC=5$ , основание — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ ).

Плоскость $\alpha$ с нормалью $\vec{PQ}$ проходит через середину $M$ ребра $BC$ . Подстановка показывает, что середина $AC$ лежит в $\alpha$ , то есть $\alpha$ делит $AC$ пополам. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Вычисляем точку пересечения $\alpha$ с ребром $A_1C_1$ : она делит его как $A_1X:XC_1=1:5$ (считая от $A_1$ ).

Ответ: $1:5$ .

Ответ

$1:5$