ID: 00005320
Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP : PB = 3 : 1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость, перпендикулярная $PQ$.
а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости.
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит $PQ$, если $AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: $H$ — середина $AB$, ось $x$ вдоль $AB$, $y$ — высота $CH$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $CH\perp AB$.
Вектор $\vec{PQ}$ — нормаль к плоскости $\alpha$. Скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0$ (проверяется по координатам), значит $AB\perp\vec{PQ}$, то есть $AB\parallel\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из $\cos\angle ABC=\tfrac35$ находим $CH=8$ ($BC=10$). Координаты $P,Q,M$ дают плоскость $\alpha$.
Точка пересечения $\alpha$ с $PQ$ делит его как $PX:XQ=16:25$.
а) Введем систему координат. Пусть $H$ — середина $AB$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $CH \perp AB$. Ось $x$ направим вдоль $HB$, ось $y$ вдоль $HC$, ось $z$ вдоль $AA_1$.
Тогда $A(-6, 0, 0)$, $B(6, 0, 0)$, $H(0, 0, 0)$. Вектор $\vec{AB} = (12, 0, 0)$.
Точка $P$ делит $AB$ в отношении $3 : 1$, значит $P(3, 0, 0)$.
Пусть $CH = h$. Тогда $C(0, h, 0)$, $C_1(0, h, 5)$, $B_1(6, 0, 5)$.
$Q$ — середина $B_1C_1$, значит $Q(3, \dfrac{h}{2}, 5)$.
$M$ — середина $BC$, значит $M(3, \dfrac{h}{2}, 0)$.
Вектор $\vec{PQ} = (3-3, \dfrac{h}{2}-0, 5-0) = (0, \dfrac{h}{2}, 5)$.
Найдем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 12 \cdot 0 + 0 \cdot \dfrac{h}{2} + 0 \cdot 5 = 0$.
Так как вектор $\vec{PQ}$ (нормаль плоскости) перпендикулярен прямой $AB$, то $AB$ параллельна плоскости.
б) Уравнение плоскости $\alpha$ через $M(3, \dfrac{h}{2}, 0)$ с нормалью $\vec{PQ}(0, \dfrac{h}{2}, 5)$:
$0 \cdot (x - 3) + \dfrac{h}{2} \cdot (y - \dfrac{h}{2}) + 5 \cdot (z - 0) = 0 \Rightarrow \dfrac{h}{2}y - \dfrac{h^2}{4} + 5z = 0$.
Пусть точка $X$ делит $PQ$ в отношении $k$, тогда $\vec{PX} = \dfrac{k}{k+1} \vec{PQ}$.
Подставляя координаты точки $X$ в уравнение плоскости и используя $\cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$ для нахождения $h$ ($BC = 10, h = 8$), находим:
$k = \dfrac{16}{25}$.