ID: 00005320
Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B_1C_1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости.
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит PQ, если AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: H — середина AB, ось x вдоль AB, y — высота CH. Так как \triangle ABC равнобедренный, CH\perp AB.
Вектор \vec{PQ} — нормаль к плоскости \alpha. Скалярное произведение \vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0 (проверяется по координатам), значит AB\perp\vec{PQ}, то есть AB\parallel\alpha. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из \cos\angle ABC=\tfrac35 находим CH=8 (BC=10). Координаты P,Q,M дают плоскость \alpha.
Точка пересечения \alpha с PQ делит его как PX:XQ=16:25.
Ответ: 16:25.
а) Введем систему координат. Пусть H — середина AB. Так как \triangle ABC равнобедренный, CH \perp AB. Ось x направим вдоль HB, ось y вдоль HC, ось z вдоль AA_1.
Тогда A(-6, 0, 0), B(6, 0, 0), H(0, 0, 0). Вектор \vec{AB} = (12, 0, 0).
Точка P делит AB в отношении 3 : 1, значит P(3, 0, 0).
Пусть CH = h. Тогда C(0, h, 0), C_1(0, h, 5), B_1(6, 0, 5).
Q — середина B_1C_1, значит Q(3, \dfrac{h}{2}, 5).
M — середина BC, значит M(3, \dfrac{h}{2}, 0).
Вектор \vec{PQ} = (3-3, \dfrac{h}{2}-0, 5-0) = (0, \dfrac{h}{2}, 5).
Найдем скалярное произведение \vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 12 \cdot 0 + 0 \cdot \dfrac{h}{2} + 0 \cdot 5 = 0.
Так как вектор \vec{PQ} (нормаль плоскости) перпендикулярен прямой AB, то AB параллельна плоскости.
б) Уравнение плоскости \alpha через M(3, \dfrac{h}{2}, 0) с нормалью \vec{PQ}(0, \dfrac{h}{2}, 5):
0 \cdot (x - 3) + \dfrac{h}{2} \cdot (y - \dfrac{h}{2}) + 5 \cdot (z - 0) = 0 \Rightarrow \dfrac{h}{2}y - \dfrac{h^2}{4} + 5z = 0.
Пусть точка X делит PQ в отношении k, тогда \vec{PX} = \dfrac{k}{k+1} \vec{PQ}.
Подставляя координаты точки X в уравнение плоскости и используя \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5} для нахождения h (BC = 10, h = 8), находим:
k = \dfrac{16}{25}.