ID: 00005317
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1, BC$ отмечены точки $M, K, N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2, 4$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $16$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K : KC_1 = 1 : 3$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В основании параллелограмм с углом $60^\circ$. $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2,4$; $M$ — середина $A_1B_1$ (по координатам). Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При объёме $16$ и $B_1K:KC_1=1:3$ высота призмы равна $\sqrt3$.
б) $H = \dfrac{16}{S_{осн}} = \sqrt{3}$