ID: 00005316
В основании прямой призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 3 : 1, а точка Q — середина ребра B_1C_1. Через середину M ребра BC провели плоскость, перпендикулярно отрезку PQ.
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру AB.
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: H — середина AB, ось x вдоль AB, y — высота CH. Так как \triangle ABC равнобедренный, CH\perp AB.
Вектор \vec{PQ} — нормаль к плоскости \alpha. Скалярное произведение \vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0 (проверяется по координатам), значит AB\perp\vec{PQ}, то есть AB\parallel\alpha. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из \cos\angle ABC=\tfrac35 находим CH=8 (BC=10). Координаты P,Q,M дают плоскость \alpha.
Точка пересечения \alpha с PQ делит его как PX:XQ=16:25.
Ответ: 16:25.
б) k = \dfrac{16}{25}