ID: 00005315
Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость проходит через вершины $B_1, D$ и пересекает рёбра $AA_1, CC_1$ в точках $M, K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Сечение $MB_1KD$ — ромб, его диагонали $MK$ и $B_1D$ перпендикулярны и делятся пополам. По симметрии $M,K$ — середины $AA_1,CC_1$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При $S_{осн}=3$ ($a=\sqrt3$) и площади ромба $6$ высота призмы равна $3\sqrt2$.
б) $3\sqrt{2}$