В кубе ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1 отмечены середины M, N отрезков AB, AD соответственно. а) Докажите, что прямые B индекс 1 N, CM перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B индекс 1 N равно 3 умножить на корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В кубе ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1 отмечены…

№2. Задание 14

ID: 00005312

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены середины $M, N$ отрезков $AB, AD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1N, CM$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1N = 3 \cdot \sqrt{5}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты: $A=(0;0;0)$ , $B=(a;0;0)$ , $D=(0;a;0)$ , $A_1=(0;0;a)$ ; тогда $M=(\tfrac a2;0;0)$ , $N=(0;\tfrac a2;0)$ , $C=(a;a;0)$ , $B_1=(a;0;a)$ .

Вычислим скалярное произведение: $\vec{B_1N}\cdot\vec{CM}=(-a)(-\tfrac a2)+\tfrac a2(-a)+(-a)\cdot 0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}=0$ , значит $B_1N\perp CM$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

При $B_1N=3\sqrt5$ ребро $a=2\sqrt5$ . По формуле расстояния между скрещивающимися прямыми $d=\dfrac{|\vec{B_1C}\cdot(\vec{B_1N}\times\vec{CM})|}{|\vec{B_1N}\times\vec{CM}|}=2$ .

Ответ: $2$ .

Ответ

$2$