ID: 00005312
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены середины $M, N$ отрезков $AB, AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N, CM$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1N = 3 \cdot \sqrt{5}$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $D=(0;a;0)$, $A_1=(0;0;a)$; тогда $M=(\tfrac a2;0;0)$, $N=(0;\tfrac a2;0)$, $C=(a;a;0)$, $B_1=(a;0;a)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{B_1N}\cdot\vec{CM}=(-a)(-\tfrac a2)+\tfrac a2(-a)+(-a)\cdot 0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}=0$, значит $B_1N\perp CM$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
При $B_1N=3\sqrt5$ ребро $a=2\sqrt5$. По формуле расстояния между скрещивающимися прямыми $d=\dfrac{|\vec{B_1C}\cdot(\vec{B_1N}\times\vec{CM})|}{|\vec{B_1N}\times\vec{CM}|}=2$.
$2$