ID: 00005305
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB = 5$, $BC = 3$, $AA_1 = 4$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$, считая от вершины $B_1$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(5;0;0)$, $C=(5;3;0)$, $A_1=(0;0;4)$, $C_1=(5;3;4)$, $D_1=(0;3;4)$. Середина $M$ диагонали $AC_1$: $M=(2{,}5;1{,}5;2)$.
Плоскость $\alpha\perp AC_1$ имеет нормаль $\vec{AC_1}=(5;3;4)$ и проходит через $M$: $5x+3y+4z=25$. Подставляя $D_1=(0;3;4)$: $0+9+16=25$ — верно, значит $D_1\in\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Ребро $A_1B_1$ задаётся как $y=0,\ z=4$. Пересечение с плоскостью: $5x+16=25\Rightarrow x=1{,}8$.
Точка $X=(1{,}8;0;4)$ делит $A_1B_1$ ($A_1=(0;0;4)$, $B_1=(5;0;4)$): $B_1X=5-1{,}8=3{,}2$, $XA_1=1{,}8$, то есть $B_1X:XA_1=3{,}2:1{,}8=16:9$.
б) $16 : 9$