В прямоугольном параллелепипеде ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1 через середину M диагонали AC индекс 1 проведена плоскость альфа перпендикулярно этой диагонали, AB равно 5 , BC равно 3 , AA индекс 1 равно 4 . а) Докажите, что плоскость альфа содержит точку D индекс 1 . б) Найдите отношение, в котором плоскость альфа делит ребро A индекс 1 B индекс 1 , считая от вершины B индекс 1 .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA индекс 1 B индекс 1 C…

№2. Задание 14

ID: 00005305

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB = 5$ , $BC = 3$ , $AA_1 = 4$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ , считая от вершины $B_1$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Координаты: $A=(0;0;0)$ , $B=(5;0;0)$ , $C=(5;3;0)$ , $A_1=(0;0;4)$ , $C_1=(5;3;4)$ , $D_1=(0;3;4)$ . Середина $M$ диагонали $AC_1$ : $M=(2{,}5;1{,}5;2)$ .

Плоскость $\alpha\perp AC_1$ имеет нормаль $\vec{AC_1}=(5;3;4)$ и проходит через $M$ : $5x+3y+4z=25$ . Подставляя $D_1=(0;3;4)$ : $0+9+16=25$ — верно, значит $D_1\in\alpha$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Ребро $A_1B_1$ задаётся как $y=0,\ z=4$ . Пересечение с плоскостью: $5x+16=25\Rightarrow x=1{,}8$ .

Точка $X=(1{,}8;0;4)$ делит $A_1B_1$ ( $A_1=(0;0;4)$ , $B_1=(5;0;4)$ ): $B_1X=5-1{,}8=3{,}2$ , $XA_1=1{,}8$ , то есть $B_1X:XA_1=3{,}2:1{,}8=16:9$ .

Ответ: $16:9$ .

Ответ

б) $16 : 9$