В прямоугольном параллелепипеде ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1 через середину M диагонали AC индекс 1 проведена плоскость альфа перпендикулярно этой диагонали, AB равно 5, BC равно 3, AA индекс 1 равно 4. а) Докажите, что плоскость альфа содержит точку D индекс 1. б) Найдите отношение, в котором плоскость альфа делит ребро A индекс 1 B индекс 1, считая от вершины B индекс 1.

Задание 15 ЕГЭ по математике №00005305

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения параллелепипедов

№2. Задание 15

ID: 00005305

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ через середину $$M$$ диагонали $$AC_1$$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $$AB = 5$$ , $$BC = 3$$ , $$AA_1 = 4$$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $$D_1$$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $$A_1B_1$$ , считая от вершины $$B_1$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Координаты: $$A=(0;0;0)$$ , $$B=(5;0;0)$$ , $$C=(5;3;0)$$ , $$A_1=(0;0;4)$$ , $$C_1=(5;3;4)$$ , $$D_1=(0;3;4)$$ . Середина $$M$$ диагонали $$AC_1$$ : $$M=(2{,}5;1{,}5;2)$$ .

Плоскость $\alpha\perp AC_1$ имеет нормаль $\vec{AC_1}=(5;3;4)$ и проходит через $$M$$ : $$5x+3y+4z=25$$ . Подставляя $$D_1=(0;3;4)$$ : $$0+9+16=25$$ — верно, значит $D_1\in\alpha$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Ребро $$A_1B_1$$ задаётся как $y=0,\ z=4$ . Пересечение с плоскостью: $5x+16=25\Rightarrow x=1{,}8$ .

Точка $$X=(1{,}8;0;4)$$ делит $$A_1B_1$$ ( $$A_1=(0;0;4)$$ , $$B_1=(5;0;4)$$ ): $B_1X=5-1{,}8=3{,}2$ , $XA_1=1{,}8$ , то есть $B_1X:XA_1=3{,}2:1{,}8=16:9$ .

Ответ

б) $$16 : 9$$

Другие задания по теме «Сечения параллелепипедов» (8)