Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1 плоскостью альфа , содержащей прямую BD индекс 1 и параллельной прямой AC , является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями альфа , BCC индекс 1 , если AA индекс 1 равно 6 , AB равно 4 .

б) arctg дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби

Задание 14 ЕГЭ по математике: Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA индекс 1 B индекс…

№2. Задание 14

ID: 00005304

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$ , является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ , $BCC_1$ , если $AA_1 = 6$ , $AB = 4$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Сечение $\alpha$ содержит $BD_1$ и параллельно $AC$ , поэтому пересекает основание по прямой $MN\parallel AC$ , проходящей через середину $BD$ . В сечении — параллелограмм; по условию он ромб, значит его диагонали перпендикулярны: $BD_1\perp MN$ , а так как $MN\parallel AC$ , то $BD_1\perp AC$ .

Проекция $BD_1$ на основание — диагональ $BD$ . По теореме о трёх перпендикулярах из $BD_1\perp AC$ следует $BD\perp AC$ . Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат, значит $ABCD$ — квадрат. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ , $AA_1=6$ . Координаты: $A=(0;0;0)$ , $B=(4;0;0)$ , $C=(4;4;0)$ , $D_1=(0;4;6)$ .

Нормаль плоскости $\alpha$ (через $B$ , $D_1$ , направление $AC$ ): $\vec n=(3;-3;4)$ (с точностью до множителя). Грань $BCC_1$ имеет нормаль $(1;0;0)$ .

Косинус угла между плоскостями $\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$ , откуда $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5}{3}$ , то есть угол равен $\operatorname{arctg}\dfrac{5}{3}$ .

Ответ: $\operatorname{arctg}\dfrac{5}{3}$ .

Ответ

б) $\text{arctg} \dfrac{5}{3}$