ID: 00005304
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$, $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Сечение $\alpha$ содержит $BD_1$ и параллельно $AC$, поэтому пересекает основание по прямой $MN\parallel AC$, проходящей через середину $BD$. В сечении — параллелограмм; по условию он ромб, значит его диагонали перпендикулярны: $BD_1\perp MN$, а так как $MN\parallel AC$, то $BD_1\perp AC$.
Проекция $BD_1$ на основание — диагональ $BD$. По теореме о трёх перпендикулярах из $BD_1\perp AC$ следует $BD\perp AC$. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат, значит $ABCD$ — квадрат. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$, $AA_1=6$. Координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(4;0;0)$, $C=(4;4;0)$, $D_1=(0;4;6)$.
Нормаль плоскости $\alpha$ (через $B$, $D_1$, направление $AC$): $\vec n=(3;-3;4)$ (с точностью до множителя). Грань $BCC_1$ имеет нормаль $(1;0;0)$.
Косинус угла между плоскостями $\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$, откуда $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5}{3}$, то есть угол равен $\operatorname{arctg}\dfrac{5}{3}$.
б) $\text{arctg} \dfrac{5}{3}$