Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00005304

Пункт а (доказательство).

Сечение $\alpha$ содержит $BD_1$ и параллельно $AC$, поэтому пересекает основание по прямой $MN\parallel AC$, проходящей через середину $BD$. В сечении — параллелограмм; по условию он ромб, значит его диагонали перпендикулярны: $BD_1\perp MN$, а так как $MN\parallel AC$, то $BD_1\perp AC$.

Проекция $BD_1$ на основание — диагональ $BD$. По теореме о трёх перпендикулярах из $BD_1\perp AC$ следует $BD\perp AC$. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат, значит $ABCD$ — квадрат. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$, $AA_1=6$. Координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(4;0;0)$, $C=(4;4;0)$, $D_1=(0;4;6)$.

Нормаль плоскости $\alpha$ (через $B$, $D_1$, направление $AC$): $\vec n=(3;-3;4)$ (с точностью до множителя). Грань $BCC_1$ имеет нормаль $(1;0;0)$.

Косинус угла между плоскостями $\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$, откуда $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5}{3}$, то есть угол равен $\operatorname{arctg}\dfrac{5}{3}$.