ID: 00005303
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины ребер: AB = 2\sqrt{2}, AD = 6, AA_1 = 10. На ребрах AA_1, BB_1 отмечены точки E, F соответственно, причем A_1E : EA = 3 : 2, B_1F : FB = 3 : 7. Точка T — середина ребра B_1C_1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: A=(0;0;0), B=(2\sqrt2;0;0), D=(0;6;0), высота AA_1=10. Из A_1E:EA=3:2 имеем E=(0;0;4); из B_1F:FB=3:7 — F=(2\sqrt2;0;7); T — середина B_1C_1: T=(2\sqrt2;3;10).
Подставив координаты D_1=(0;6;10) в уравнение плоскости EFT, получаем тождество, значит D_1\in(EFT). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение — четырёхугольник EFTD_1 (каждая сторона лежит в своей грани).
Его площадь вычисляем, разбив на треугольники EFT и ETD_1 через векторное произведение: S=\tfrac12|\vec{EF}\times\vec{ET}|+\tfrac12|\vec{ET}\times\vec{ED_1}|=\dfrac{45}{2}.
Ответ: \dfrac{45}{2}.
\dfrac{45}{2}