ID: 00005303
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины ребер: $AB = 2\sqrt{2}$, $AD = 6$, $AA_1 = 10$. На ребрах $AA_1$, $BB_1$ отмечены точки $E$, $F$ соответственно, причем $A_1E : EA = 3 : 2$, $B_1F : FB = 3 : 7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(2\sqrt2;0;0)$, $D=(0;6;0)$, высота $AA_1=10$. Из $A_1E:EA=3:2$ имеем $E=(0;0;4)$; из $B_1F:FB=3:7$ — $F=(2\sqrt2;0;7)$; $T$ — середина $B_1C_1$: $T=(2\sqrt2;3;10)$.
Подставив координаты $D_1=(0;6;10)$ в уравнение плоскости $EFT$, получаем тождество, значит $D_1\in(EFT)$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение — четырёхугольник $EFTD_1$ (каждая сторона лежит в своей грани).
Его площадь вычисляем, разбив на треугольники $EFT$ и $ETD_1$ через векторное произведение: $S=\tfrac12|\vec{EF}\times\vec{ET}|+\tfrac12|\vec{ET}\times\vec{ED_1}|=\dfrac{45}{2}$.
$\dfrac{45}{2}$