В треугольнике ABC угол C прямой, значит, AB — гипотенуза, а AC и BC — катеты.

Чтобы найти \cos\,A, нужен катет AC: косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Известны гипотенуза AB=10 и катет BC=\sqrt{19}, поэтому второй катет найдём по теореме Пифагора:

AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 19} = \sqrt{81} = 9.

Теперь записываем отношение по определению:

\cos\,A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9.

Проверка: значение получилось между нулём и единицей — так и должно быть для острого угла.