ID: 00004490
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} x^4-y^4 = 12a-28 \\ x^2+y^2 = a \end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Хитрость в разложении разности четвёртых степеней: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$. А второе уравнение как раз даёт $x^2+y^2=a$. Цель — ровно четыре решения.
Подставляем: $(x^2-y^2)\cdot a=12a-28$, откуда при $a\ne0$ получаем $x^2-y^2=\dfrac{12a-28}{a}$.
Теперь у нас система $x^2+y^2=a$ и $x^2-y^2=\dfrac{12a-28}{a}$. Складывая и вычитая, находим по отдельности:
$$x^2=\dfrac12\!\left(a+\dfrac{12a-28}{a}\right),\qquad y^2=\dfrac12\!\left(a-\dfrac{12a-28}{a}\right).$$
Четыре различных решения $(\pm x,\pm y)$ возможны только если $x^2\gt 0$ И $y^2\gt 0$ одновременно (тогда у $x$ два знака и у $y$ два знака — всего $2\times2=4$ точки).
Решаем два неравенства $x^2\gt 0$ и $y^2\gt 0$ относительно $a$ и пересекаем. Получаем ответ $(2;6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2;+\infty)$.
$(2;\,6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2;\,+\infty)$