Задание 19 ЕГЭ по математике №00004485

Из второго уравнения $x|y|+x-2=0$ выразим $x$: $x(|y|+1)=2$, то есть $x=\dfrac{2}{|y|+1}$. Заметим: $|y|+1\ge1$, поэтому $x\gt 0$ и даже $0\lt x\le2$. Из первого уравнения $x=2-a-ay$. Цель — единственное решение.

Приравниваем два выражения для $x$:

$$\dfrac{2}{|y|+1}=2-a(y+1).$$

Из-за модуля разбиваем на две ветви: $y\ge0$ (тогда $|y|=y$) и $y\lt 0$ (тогда $|y|=-y$). На каждой ветви это уравнение относительно $y$, и его легко исследовать на число решений.

Складываем подходящие решения с обеих ветвей и требуем, чтобы решение было РОВНО одно. Анализ показывает, что это происходит при $a\le0$ и при $a\gt \dfrac12$.