Из второго уравнения x|y|+x-2=0 выразим x: x(|y|+1)=2, то есть x=\dfrac{2}{|y|+1}. Заметим: |y|+1\ge1, поэтому x\gt 0 и даже 0\lt x\le2. Из первого уравнения x=2-a-ay. Цель — единственное решение.

Приравниваем два выражения для x:

\dfrac{2}{|y|+1}=2-a(y+1).

Из-за модуля разбиваем на две ветви: y\ge0 (тогда |y|=y) и y\lt 0 (тогда |y|=-y). На каждой ветви это уравнение относительно y, и его легко исследовать на число решений.

Складываем подходящие решения с обеих ветвей и требуем, чтобы решение было РОВНО одно. Анализ показывает, что это происходит при a\le0 и при a\gt \dfrac12.

Ответ: (-\infty;0]\cup\left(\dfrac12;+\infty\right).