ID: 00004483
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}\sqrt{36-y^{2}}=\sqrt{36-a^{2}x^{2}}\\ x^{2}+y^{2}=2x+6y\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Первое уравнение $\sqrt{36-y^2}=\sqrt{36-a^2x^2}$ равносильно $y^2=a^2x^2$ (при $|y|\le6$) — пара прямых $y=\pm ax$. Второе — окружность $(x-1)^2+(y-3)^2=10$. Цель — ровно два решения.
Ищем общие точки окружности с прямыми $y=\pm ax$ при $|y|\le6$. Точка $(0,0)$ — всегда на обеих прямых; проверяем, на окружности ли она (да).
Считаем точки пересечения, убираем повторы и точки с $|y|\gt6$. Особые значения параметра — $0,\ \pm\dfrac13,\ \pm3$.
Получаем лучи и отдельные точки: $(-\infty;-3)\cup\left\{-\dfrac13\right\}\cup\{0\}\cup\left\{\dfrac13\right\}\cup(3;+\infty)$.
(Для задачи 00004483 запись системы в банке была утрачена — она восстановлена по точному двойнику 00013748.)
$(-\infty;-3)\cup\left\{-\dfrac13\right\}\cup\{0\}\cup\left\{\dfrac13\right\}\cup(3;+\infty)$