ID: 00004481
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} (x^2-5x-y+3) \cdot \sqrt{x-y+3} = 0 \\ y = ax+a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Подставим $y=a(x+1)$ из второго уравнения в первое: $(x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0$. Цель — ровно два решения. ОДЗ: $x-y+3\ge0$.
Два типа решений. Первый: $\sqrt{x-y+3}=0$ — это точка пересечения прямой $y=a(x+1)$ с прямой $y=x+3$ (одно решение, если прямые не параллельны).
Второй: скобка $x^2-5x-y+3=0$ при $y=a(x+1)$ — квадратное уравнение по $x$; берём корни с $x-y+3\ge0$.
А вот тонкость, из-за которой готовый «красивый» ответ неверен. Граничная точка ($\sqrt{\dots}=0$) лежит далеко: её $x=\dfrac{a-3}{a-1}$ может стать ОЧЕНЬ большим. И в узкой зоне $a\in\left(1;\dfrac97\right)$ эта граничная точка добавляется к двум корням параболы — получается ТРИ решения, а не два.
Поэтому, аккуратно посчитав, получаем: ровно два решения — это отдельные точки $a=-1$, $a=1$ и интервал $\left(\dfrac97;3\right)$ (а «карман» $\left(1;\dfrac97\right)$ выпадает, там три решения).
$\{-1\}\cup\{1\}\cup\left(\dfrac97;\,3\right)$