Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004478

Уравнение $|x^2+a^2-6x+4a|=2x-2a$. Цель — ровно четыре корня. Первое наблюдение: слева модуль (он $\ge0$), значит и справа должно быть $\ge0$, то есть $2x-2a\ge0$, иначе говоря $x\ge a$. Запомним это.

Раскрываем модуль на два случая. Случай «плюс»: $x^2+a^2-6x+4a=2x-2a$, то есть $x^2-8x+(a^2+6a)=0$, корни $x=4\pm\sqrt{16-a^2-6a}$ (они вещественны при $a\in[-8;2]$).

Случай «минус»: $x^2+a^2-6x+4a=-(2x-2a)$, то есть $x^2-4x+(a^2+2a)=0$, корни $x=2\pm\sqrt{4-a^2-2a}$ (вещественны при $a\in[-1-\sqrt5;-1+\sqrt5]$).

Итого до четырёх корней. Каждый оставляем, только если он удовлетворяет условию $x\ge a$. Четыре корня — когда обе пары дают по два различных допустимых корня.

Важная проверка границ: случай «плюс» вообще существует только при $a\le2$. Поэтому при $a\gt 2$ четырёх корней быть НЕ может — там работает только «минус», максимум два корня. (Именно поэтому ответ не может тянуться вправо за $a=2$.)

Аккуратно сводя условия (вещественность корней и $x\ge a$), получаем ответ $(-1-\sqrt5;0)\cup(1;\sqrt5-1)$.