Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004477

Цель — найти $a$, при которых корней БОЛЬШЕ ДВУХ (то есть три или четыре). Главная трудность — модуль справа; раскроем его по знаку выражения $7x+a$.

Если $7x+a\ge0$, модуль снимается со знаком «плюс»: $x^2+a^2+x-7a=7x+a$, то есть $x^2-6x+(a^2-8a)=0$.

Если $7x+a\lt 0$, модуль снимается со знаком «минус»: $x^2+a^2+x-7a=-(7x+a)$, то есть $x^2+8x+(a^2-6a)=0$.

Получили два квадратных уравнения. Но не каждый их корень годится: корень из первого уравнения должен удовлетворять $7x+a\ge0$, из второго — $7x+a\lt 0$. Это обязательная проверка согласования.

Дальше считаем, сколько всего РАЗЛИЧНЫХ согласованных корней. «Больше двух» означает, что в сумме набирается 3 или 4 корня — а для этого нужно, чтобы оба квадратных уравнения дали по два подходящих корня.

Исследуя дискриминанты обоих уравнений и условия согласования со знаком, получаем, что это выполняется на двух отрезках параметра.