Слева и справа — показательные выражения с основанием 5. Сделаем замену t=5^x; важно помнить, что t\gt 0 при любом x, и каждому t\gt 0 отвечает ровно один x. Цель — ровно один корень.

Перенесём всё в одну часть и сгруппируем — получится квадратное уравнение относительно t, которое раскладывается на множители:

t^2-\big((a+6)+(3|a|+5)\big)t+(a+6)(3|a|+5)=0\ \Rightarrow\ (t-(a+6))(t-(3|a|+5))=0.

Итак, t=a+6 или t=3|a|+5. Каждое ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ значение t даёт ровно один корень x.

Второй множитель: 3|a|+5\ge5\gt 0 — он всегда даёт корень. Первый: a+6\gt 0 только при a\gt -6.

Ровно один корень получается в двух случаях: либо первое значение неположительно (a+6\le0, то есть a\le-6 — тогда работает только второй множитель), либо два значения t совпадают (тогда корень тоже один).

Совпадение a+6=3|a|+5: при a\ge0 это a+6=3a+5, откуда a=\dfrac12; при a\lt 0 это a+6=-3a+5, откуда a=-\dfrac14.

Собираем: (-\infty;-6]\cup\left\{-\dfrac14\right\}\cup\left\{\dfrac12\right\}.