Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004474

Равенство двух корней $\sqrt{P}=\sqrt{Q}$ возможно лишь когда $P=Q$ и обе части неотрицательны. Цель — ровно один корень на $[0;1]$.

Приравниваем подкоренные:

$$x^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a\ \Rightarrow\ 2x^2-(3a+1)x+(a^2+a)=0.$$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант $(3a+1)^2-8(a^2+a)=a^2-2a+1=(a-1)^2$ — полный квадрат, поэтому корни хорошие:

$$x=\dfrac{(3a+1)\pm|a-1|}{4}.$$

Каждый корень оставляем, только если он на отрезке $[0;1]$ И обе подкоренные неотрицательны ($x^2-a^2\ge0$ и второй трёхчлен $\ge0$).

Перебирая значения параметра, видим: ровно один корень на отрезке получается при $a\in\left[-\dfrac13;0\right)$, а также в отдельной точке $a=1$ (там дискриминант равен нулю, оба корня сливаются в $x=1$).