Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате конец аргумента равно x в квадрате плюс 4x минус 8a имеет ровно три различных корня.

левая круглая скобка минус бесконечность; минус 2 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00004473

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2} = x^2+4x-8a$ имеет ровно три различных корня.

Источник: ФИПИ

Решение

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ . Оно равносильно системе: правая часть неотрицательна ( $B\ge0$ ) И квадраты равны ( $A=B^2$ ). Цель — ровно три различных корня.

Возведём в квадрат и посмотрим на разность $A-B^2$ (старшие степени $x^4$ сократятся):

$A-B^2=-8x\,\big(x^2-(2a-4)x-8a\big)=-8x\,(x-2a)(x+4).$

Значит уравнение $A=B^2$ даёт корни-кандидаты $x=0,\ x=2a,\ x=-4$ . Но это ещё не всё: нужно отобрать те, где выполняется $B\ge0$ , то есть $x^2+4x-8a\ge0$ .

Проверяем каждый: для $x=2a$ правая часть равна $4a^2\ge0$ — годится ВСЕГДА. Для $x=0$ и $x=-4$ правая часть равна $-8a$ — она неотрицательна при $a\le0$ .

Три различных корня получаются, когда все три значения допустимы и попарно различны. Допустимость $x=0$ и $x=-4$ требует $a\le0$ . Различность: $2a\ne0$ (то есть $a\ne0$ ) и $2a\ne-4$ (то есть $a\ne-2$ ).

Итог: $a\lt 0$ и $a\ne-2$ , то есть $(-\infty;-2)\cup(-2;0)$ .

Ответ

$(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,0)$

№2. Задание 18

Решение

Ответ

Видеоразбор

№2. Задание 18

Решение

Ответ

Видеоразбор