Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00004473

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$. Оно равносильно системе: правая часть неотрицательна ($B\ge0$) И квадраты равны ($A=B^2$). Цель — ровно три различных корня.

Возведём в квадрат и посмотрим на разность $A-B^2$ (старшие степени $x^4$ сократятся):

$$A-B^2=-8x\,\big(x^2-(2a-4)x-8a\big)=-8x\,(x-2a)(x+4).$$

Значит уравнение $A=B^2$ даёт корни-кандидаты $x=0,\ x=2a,\ x=-4$. Но это ещё не всё: нужно отобрать те, где выполняется $B\ge0$, то есть $x^2+4x-8a\ge0$.

Проверяем каждый: для $x=2a$ правая часть равна $4a^2\ge0$ — годится ВСЕГДА. Для $x=0$ и $x=-4$ правая часть равна $-8a$ — она неотрицательна при $a\le0$.

Три различных корня получаются, когда все три значения допустимы и попарно различны. Допустимость $x=0$ и $x=-4$ требует $a\le0$. Различность: $2a\ne0$ (то есть $a\ne0$) и $2a\ne-4$ (то есть $a\ne-2$).

Итог: $a\lt 0$ и $a\ne-2$, то есть $(-\infty;-2)\cup(-2;0)$.