Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004463

По свойству логарифма степень выносится вперёд: $y = 5\ln(x + 9) - 5x$; область определения $x \gt -9$ — весь отрезок подходит.

Производная:

$$y' = \dfrac{5}{x + 9} - 5.$$

Нуль производной:

$$\dfrac{5}{x+9} = 5 \quad\Rightarrow\quad x + 9 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = -8.$$

Точка $x = -8$ лежит внутри отрезка $[-8{,}5;\ 0]$.

Знаки: при $x \lt -8$ дробь больше $5$ — производная положительна; при $x \gt -8$ — отрицательна. Значит, $x = -8$ — максимум, и в нём наибольшее значение:

$$y(-8) = 5\ln(-8 + 9) - 5 \cdot (-8) = 5\ln 1 + 40 = 40.$$