Область определения: 8x \gt 0, то есть x \gt 0 — весь отрезок подходит.

Производная (у \ln(8x) производная \dfrac{8}{8x} = \dfrac{1}{x}):

y' = \dfrac{1}{x} - 8.

Нуль производной:

\dfrac{1}{x} = 8 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1}{8}.

Точка \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{16} лежит внутри отрезка \left[\dfrac{1}{16};\ \dfrac{5}{16}\right].

Знаки: при x \lt \dfrac{1}{8} дробь \dfrac{1}{x} больше 8 — производная положительна; при x \gt \dfrac{1}{8} — отрицательна. Это максимум, в нём и достигается наибольшее значение:

y\left(\dfrac{1}{8}\right) = \ln\left(8 \cdot \dfrac{1}{8}\right) - 8 \cdot \dfrac{1}{8} + 7 = \ln 1 - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6.