Найдём производную: производная \sin x равна \cos x.

y' = 10\cos x - \dfrac{42}{\pi}.

Оценим производную: косинус не превышает 1, поэтому 10\cos x \le 10, а \dfrac{42}{\pi} \approx 13{,}4 \gt 10 — производная отрицательна на всём отрезке.

Значит, функция монотонно убывает на \left[-\dfrac{5\pi}{6};\ 0\right], и наибольшее значение достигается на левом конце, в точке x = -\dfrac{5\pi}{6}.

Подставляем, помня, что \sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}:

y\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = 10 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{42}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) - 12 = -5 + 35 - 12 = 18.

Наибольшее значение функции равно 18.